第三步，由推论5知 p < 2n，由反证法假设知 p ≤ n，再由推论3知 p ≤ 2n/3，因此(2n)!/(n!n!)=Πp≤2n/3 ps(p)。
………………
第七步，利用推论8可得：(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2n ps(p)·Π√2n<p≤2n/3 p ≤Πp≤√2n ps(p)·Πp≤2n/3 p！
思路畅通，程诺一路写下来，不见任何阻力，一个小时左右便完成一半多的证明步骤。
连程诺本人，都惊讶了好一阵。
原来我现在，不知不觉间已经这么厉害了啊！！！
程诺叉腰得意一会儿。
随后，便是低头继续苦逼的列着证明公式。
第八步，由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n 以内的素数数目，即不多于√2n/2 - 1 (因偶数及 1 不是素数)……由此得到：(2n)!/(n!n!)<(2n)√2n/2-1 · 42n/3。
第九步，(2n)!/(n!n!)是(1+1)2n 展开式中最大的一项，而该展开式共有 2n 项(我们将首末两项 1 合并为 2)，因此(2n)!/(n!n!)≥ 22n / 2n = 4n / 2n。两端取对数并进一步化简可得：√2n ln4 < 3 ln(2n)。
下面，就是最后一步。
由于幂函数√2n 随 n 的增长速度远快于对数函数 ln(2n)，因此上式对于足够大的 n 显然不可能成立。
至此，可说明， Bertrand 假设成立。
论文的草稿部分，算是正式完工。
而且完工的时间，比程诺预想的要早了整整一半时间。
